Упр.15.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Точка $$A$$ находится на расстоянии $$a$$ от вершин равностороннего треугольника со стороной $$a$$. Найдите расстояние от точки $$A$$ до плоскости треугольника.
Пусть $$BCD$$ — данный равносторонний треугольник, тогда $$AB=AC=AD=a$$.
Опустим из точки $$A$$ перпендикуляр $$AO$$ на плоскость $$BCD$$. Тогда треугольники $$AOB$$, $$AOC$$ и $$AOD$$ прямоугольные, причём
$$AB=AC=AD,\quad AO\text{ — общий катет}.$$
Следовательно, эти треугольники равны по гипотенузе и катету, значит
$$BO=CO=DO.$$
Точка $$O$$ равноудалена от вершин треугольника $$BCD$$, значит, она является центром описанной окружности около равностороннего треугольника $$BCD$$. Тогда радиус этой окружности равен
$$BO=R=\frac{a}{2\sin 60^\circ}=\frac{a}{2\cdot \frac{\sqrt3}{2}}=\frac{a}{\sqrt3}.$$
Теперь в прямоугольном треугольнике $$AOB$$ по теореме Пифагора:
$$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{\sqrt3}\right)^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\sqrt{\frac{2a^2}{3}}=a\sqrt{\frac23}.$$
Ответ: $$a\sqrt{\frac23}$$.
