Вопрос 15 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Теорема Фалеса:
Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на
одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и
на другой его стороне;
Доказательство:
1) Пусть A1, A2 и A3-точки пересечения параллельных прямых с одной
из сторон угла (A1 A2=A2 A3), а B1, B2 и B3-соответствующие
точки пересечения этих прямых с другой стороной угла;
2) Проведем через точку B2 прямую EF, параллельнуюю прямой A1 A3;
3) Четырехугольники A1 A2 B2 B1 и A2 A3 B3 B2-параллелограммы (по
определению), отсюда A1 A2=FB2 и A2 A3=B2 E;
4) Так как A1 A2=A2 A3, то FB2=B2 E;
5) Углы FB2 B1 и B3 B2 E равны как вертикальные, а углы B2 DB1 и B2 EB3
равны как накрест лежащие при параллельных A1 B1 и A3 B3 и секущей EF;
7) Треугольники B2 B1 F и B2 B3 E равны по второму признаку, отсюда
B1 B2=B2 B3, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$A_1, A_2, A_3$$ — точки пересечения параллельных прямых с одной стороной угла, причём $$A_1A_2=A_2A_3$$. Обозначим через $$B_1, B_2, B_3$$ точки пересечения этих же прямых с другой стороной угла.

Проведём через точку $$B_2$$ прямую $$EF$$, параллельную прямой $$A_1A_3$$.

Тогда четырёхугольники $$A_1A_2B_2B_1$$ и $$A_2A_3B_3B_2$$ — параллелограммы, поэтому

$$A_1A_2=FB_2,\qquad A_2A_3=B_2E.$$

Так как по условию $$A_1A_2=A_2A_3$$, то

$$FB_2=B_2E.$$

Рассмотрим треугольники $$B_2B_1F$$ и $$B_2B_3E$$. У них:

$$FB_2=B_2E$$;
$$\angle FB_2B_1=\angle B_3B_2E$$ как вертикальные;
$$\angle B_2B_1F=\angle B_2B_3E$$ как накрест лежащие при параллельных $$A_1B_1$$ и $$A_3B_3$$ и секущей $$EF$$.

Следовательно, $$\triangle B_2B_1F \cong \triangle B_2B_3E$$ по второму признаку равенства треугольников. Отсюда

$$B_1B_2=B_2B_3.$$

Значит, на другой стороне угла параллельные прямые отсекают равные отрезки.