Упр.13.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что середины сторон правильного $$n$$-угольника являются вершинами другого правильного $$n$$-угольника.

Пусть $$A_1A_2A_3\dots A_n$$ — данный правильный $$n$$-угольник, а $$B_1, B_2, \dots, B_n$$ — середины его сторон $$A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_nA_1$$.

Соединим точки $$B_1, B_2, \dots, B_n$$. Так как сторон у многоугольника $$n$$, то получим $$n$$-угольник.

Рассмотрим треугольники $$B_1A_2B_2$$, $$B_2A_3B_3$$ и $$B_3A_4B_4$$. Так как $$A_1A_2A_3\dots A_n$$ — правильный многоугольник, то

$$\angle A_2=\angle A_3=\angle A_4$$

и

$$B_1A_2=A_2B_2,\quad B_2A_3=A_3B_3,\quad B_3A_4=A_4B_4,$$

поскольку $$B_1, B_2, B_3, B_4$$ — середины соответствующих сторон.

Следовательно, треугольники $$B_1A_2B_2$$, $$B_2A_3B_3$$ и $$B_3A_4B_4$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$B_1B_2=B_2B_3=B_3B_4.$$

Теперь найдём углы между соседними сторонами полученного многоугольника:

$$\angle B_1B_2B_3=180^\circ-\angle B_1B_2A_2-\angle A_3B_2B_3,$$

$$\angle B_2B_3B_4=180^\circ-\angle B_2B_3A_3-\angle A_4B_3B_4.$$

Но из равенства указанных треугольников следует, что

$$\angle B_1B_2A_2=\angle B_2B_3A_3,\quad \angle A_3B_2B_3=\angle A_4B_3B_4.$$

Значит,

$$\angle B_1B_2B_3=\angle B_2B_3B_4.$$

Аналогично доказывается, что все стороны многоугольника $$B_1B_2\dots B_n$$ равны и все его углы равны. Следовательно, он является правильным $$n$$-угольником.

Ответ: середины сторон правильного $$n$$-угольника являются вершинами другого правильного $$n$$-угольника.