Вопрос 15 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: правильные выпуклые n- угольники подобны; в частности,
если у них стороны одинаковы, то они равны;
Доказательство:
1) Докажем сначала второе утверждение, пусть:
P1: A1 A2…An и P2: B1 B2…Bn-правильные выпуклые n- угольники с
одинаковыми сторонами, докажем, что они равны, то есть совмещаются
движением;
2) Треугольники A1 A2 A3 и B1 B2 B3 равны по первому прзнаку, у них:
A1 A2=B1 B2, A2 A3=B2 B3 и угол A1 A2 A3 = углуB1 B2 B3;
3) Подвергнем многоугольник P1 движению, при котором его вершины
A1, A2 и A3 переходят в вершины B1, B2 и B3 соответственно, так как
треугольники с вершинами в этих точках равны, то такое движение
существует;
4) При этом вершина A4 перейдет в нектороую точку C;
5) Точки B4 и C лежат по одну сторону с точкой B1 относительно
прямой B2 B3;
6) Так как движение сохраняет углы и растояния, то:
угол B2 B3 C = углу B2 B3 B4 и B2 C=B3 B4, следовательно точка C совпадает с
точкой B4;
7) Таким образом, при нашем движении вершина A4 переходит в
вершину B4;
8) Далее таким же способом заключаем, что вершина A5 переходит в
вершину B5 и так далее, то есть многоугольник P1 переводится
движением в многоугольник P2, а значит они равны.
9) Теперь докажем первое утверждение, подвергнем сначала мноуголь-
ник P1 преобразованию подобия, наприсер гомотетии, с коэффициентом:
k=(B1 B2)/(A1 A2);
10) При этом получим правильный n- угольник P’ с таким же сторонами,
как и у многоугольника P2;
11) По доказанному многоугольники P’ и P2 равны, а так как n-угольники
P’ и P1 подобны, то и треугольники P1 и P2 подобны, что и требоваось
Доказать.

Подробный ответ

Докажем сначала, что правильные выпуклые $$n$$-угольники с одинаковыми сторонами равны.

Пусть $$P_1: A_1A_2\dots A_n$$ и $$P_2: B_1B_2\dots B_n$$ — правильные выпуклые $$n$$-угольники, причём

$$A_1A_2=B_1B_2,\quad A_2A_3=B_2B_3.$$

Так как многоугольники правильные, то их углы равны, значит

$$\angle A_1A_2A_3=\angle B_1B_2B_3.$$

Следовательно, треугольники $$A_1A_2A_3$$ и $$B_1B_2B_3$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому существует движение, переводящее точки $$A_1, A_2, A_3$$ соответственно в $$B_1, B_2, B_3$$.

При этом вершина $$A_4$$ перейдёт в некоторую точку $$C$$. Поскольку движение сохраняет расстояния и углы, имеем

$$B_2C=B_3B_4,\quad \angle B_2B_3C=\angle B_2B_3B_4.$$

Значит, точка $$C$$ совпадает с точкой $$B_4$$. Аналогично получаем, что $$A_5$$ переходит в $$B_5$$, и так далее. Следовательно, многоугольник $$P_1$$ совмещается с многоугольником $$P_2$$, то есть они равны.

Теперь докажем, что любые два правильных выпуклых $$n$$-угольника подобны. Пусть для многоугольников $$P_1$$ и $$P_2$$ стороны равны соответственно $$a_1$$ и $$a_2$$. Выполним гомотетию с коэффициентом

$$k=\frac{a_2}{a_1}.$$

Тогда многоугольник $$P_1$$ перейдёт в правильный выпуклый $$n$$-угольник $$P’$$, у которого стороны равны сторонам $$P_2$$. По доказанному выше $$P’$$ и $$P_2$$ равны. Значит, $$P_1$$ и $$P_2$$ подобны.

Итак, правильные выпуклые $$n$$-угольники подобны; в частности, если их стороны одинаковы, то они равны.