Упр.11.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Прямая, параллельная стороне $$AB$$ треугольника $$ABC$$, пересекает его сторону $$AC$$ в точке $$A_1$$, а сторону $$BC$$ — в точке $$B_1$$. Докажите, что треугольник $$ABC$$ подобен треугольнику $$A_1B_1C$$.

Отметим точку $$D$$ на прямой $$A_1B_1$$ по другую сторону от точки $$B_1$$ относительно точки $$A_1$$.

Рассмотрим параллельные прямые $$AB$$ и $$A_1B_1$$ и секущую $$AC$$. Тогда

$$\angle AA_1D=\angle CAB$$

как внутренние накрест лежащие углы.

Кроме того,

$$\angle CA_1B_1=\angle AA_1D$$

как вертикальные углы. Следовательно,

$$\angle CA_1B_1=\angle CAB.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C$$. У них угол $$C$$ — общий, а также $$\angle A=\angle A_1$$. Значит,

$$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C$$

по двум углам.