Упр.9.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. При симметрии относительно некоторой прямой точка $$X$$ переходит в точку $$X’$$. Постройте точку, в которую при этой симметрии переходит точка $$Y$$.

Пусть $$X$$ и $$X’$$ — данные точки, а $$Y$$ — точка, образ которой нужно построить.

Сначала построим ось симметрии.

1. Проведём окружности с центрами в точках $$X$$ и $$X’$$ и одинаковым радиусом $$XX’$$.
2. Обозначим через $$a$$ прямую, проходящую через точки пересечения этих окружностей. Тогда $$a$$ — серединный перпендикуляр к отрезку $$XX’$$.
3. Пусть $$O=a\cap XX’$$. Тогда $$O$$ — середина отрезка $$XX’$$, а прямая $$a$$ перпендикулярна $$XX’$$, значит $$a$$ является осью симметрии.

Теперь построим образ точки $$Y$$.

4. Проведём окружность с центром в точке $$X$$ радиуса $$XY$$.
5. Проведём окружность с центром в точке $$X’$$ того же радиуса $$XY$$.
6. Вторая точка пересечения этих окружностей и будет искомой точкой $$Y’$$.

Действительно, точки $$Y$$ и $$Y’$$ равноудалены от $$X$$ и $$X’$$, а прямая $$a$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$YY’$$. Следовательно, $$Y’$$ — образ точки $$Y$$ при симметрии относительно прямой $$a$$.

Ответ: искомая точка $$Y’$$ — вторая точка пересечения окружностей с центрами $$X$$ и $$X’$$ и радиусом $$XY$$.