Упр.5.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

2) Докажите, что если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, то она является касательной к окружности в этой точке.
3) Докажите, что если две окружности имеют только одну общую точку, то они касаются в этой точке.
I) Отобразим услоие задачи:
Дано: через точку A окружности проведена прямая, не касающаяся
окружности, OB-перпендикуляр, опущенный на данную прямую,
на продолжении AB отложен отрезок BC=AB;
Доказать: точка C лежит на окружности;
Доказательство:
1) Отрезок OB перпендикулярен отрезку AC, значит он является
высотой треугольника AOC;
2) AB=BC, значит отрезок OB является медианой треугольника AOC;
3) Так как в треугольнике AOC высота и медиана совпадают, то он
является равнобедренным, значит AO=OC;
4) Точка C удалена от центра окружности также, как и точка A,
лежащая на окружности, значит точка C также лежит на окружности,
что и требовалось доказать.
II)
Доказать: если прямая имеет с окружностью только одну общую точку,
то она является касательной к окружности в этой точке;
Доказательство:
1) Пусть дана окружность с центром в точке O и прямая, которая имеет с
окружностью общую точку A;
2) Допустим, что прямая не является касательной к окружности, значит
они не перпендикулярны, тогда к ней можно провести перпендикуляр OB,
не совпадающий с отрезком OA, а на продолжении отрезка AB отложить
отрезок BC=AB;
3) Тогда согласно пункту I этой задачи, прямая имеет с окружностью еще
одну общую точку C, что противоречит условию задачи, следовательно
предположение неверно и прямая является касательной к окружности в
точке A, что и требовалось доказать.
III) Отобразим условие задачи.
Доказать: если две окружности имеют только одну общую точку, то они
касаются в этой точке;
Доказательство:
1) Пусть окружности с центрами в точках O и O1 имеют общую точку A;
2) Допустим, что точки O, A и O1 не лежат на одной прямой, тогда можно
построить треугольник OA1 O1, так чтобы точки A и A1 лежали по разные
стороны от прямой OO1;
3) Так как треугольник OA1 O1=треугольник OAO1, то OA1=OA и O1 A1=O1 A, то есть точка A1
лежит на обеих окружностях, то есть является их пересечением, что
противоречит условию задачи, значит допущение неверно и точки
O, A и O1 лежат на одной прямой;
4) Тогда к прямой OO1 в точке A можно построить перпендикулярную
прямую, то есть общую касательную к обеим окружностям, значит
данные окружности касаются в точке A, что и требовалось доказать.

I) Пусть прямая проходит через точку $$A$$ окружности с центром $$O$$ и не является касательной. Из точки $$O$$ опустим перпендикуляр $$OB$$ на эту прямую. На продолжении отрезка $$AB$$ отложим отрезок $$BC$$, причём $$BC=AB$$.

Так как $$OB \perp AC$$, то $$OB$$ — высота треугольника $$AOC$$. Кроме того, из условия $$AB=BC$$ следует, что точка $$B$$ — середина отрезка $$AC$$, значит $$OB$$ — медиана треугольника $$AOC$$.

В треугольнике $$AOC$$ высота и медиана, проведённые из одной вершины, совпадают. Следовательно, треугольник $$AOC$$ равнобедренный, то есть

$$AO=OC.$$

Но $$AO$$ — радиус окружности, значит и $$OC$$ равно радиусу. Следовательно, точка $$C$$ лежит на данной окружности.

II) Пусть прямая имеет с окружностью только одну общую точку $$A$$. Докажем, что она является касательной.

Предположим противное: прямая не касательная. Тогда к ней можно провести перпендикуляр $$OB$$ из центра $$O$$, а на продолжении $$AB$$ отложить отрезок $$BC=AB$$.

По доказанному в пункте I точка $$C$$ тоже лежит на окружности. Получаем вторую общую точку прямой и окружности, что противоречит условию. Значит, наше предположение неверно, и прямая является касательной к окружности в точке $$A$$.

III) Пусть две окружности с центрами $$O$$ и $$O_1$$ имеют только одну общую точку $$A$$. Докажем, что они касаются в этой точке.

Предположим, что точки $$O$$, $$A$$ и $$O_1$$ не лежат на одной прямой. Тогда можно построить точку $$A_1$$, симметричную точке $$A$$ относительно прямой $$OO_1$$. В треугольниках $$OAO_1$$ и $$OA_1O_1$$ имеем:

• $$OA=OA_1$$,
• $$O_1A=O_1A_1$$,
• $$O_1O$$ — общая сторона.

Следовательно, эти треугольники равны, значит точка $$A_1$$ лежит и на первой, и на второй окружности. Это противоречит тому, что общая точка только одна.

Значит, точки $$O$$, $$A$$ и $$O_1$$ лежат на одной прямой. Тогда в точке $$A$$ к прямой $$OO_1$$ можно провести единственную перпендикулярную прямую, которая и является общей касательной к обеим окружностям. Следовательно, окружности касаются в точке $$A$$.

Ответ

1) $$C$$ лежит на окружности.
2) Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, является касательной в этой точке.
3) Две окружности, имеющие только одну общую точку, касаются в этой точке.