Упр.8.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Даны три вершины параллелограмма $$ABCD$$: $$A(1; 0)$$, $$B(2; 3)$$, $$C(3; 2)$$. Найдите координаты четвёртой вершины $$D$$ и точки пересечения его диагоналей.

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Тогда по свойству параллелограмма диагонали делятся пополам, значит $$O$$ — середина и $$AC$$, и $$BD$$.

Найдём координаты точки $$O$$ как середины отрезка $$AC$$:

$$x_O=\frac{1+3}{2}=2,\qquad y_O=\frac{0+2}{2}=1.$$

Следовательно, $$O(2;1)$$.

Теперь найдём координаты точки $$D(x;y)$$, считая $$O$$ серединой отрезка $$BD$$:

$$\frac{2+x}{2}=2,\qquad \frac{3+y}{2}=1.$$

Отсюда:

$$2+x=4 \Rightarrow x=2,$$
$$3+y=2 \Rightarrow y=-1.$$

Значит, $$D(2;-1)$$.

Ответ: $$D(2;-1),\ O(2;1)$$.