Вопрос 15 Параграф 8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что для любого угла $$\alpha$$, $$0^\circ < \alpha < 180^\circ$$:

$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,$$

$$\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha,$$

$$\operatorname{ctg}(180^\circ-\alpha)=-\operatorname{ctg}\alpha.$$

Рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом $$R$$. Пусть точке с углом $$\alpha$$ соответствует точка $$A(x;y)$$, а углу $$180^\circ-\alpha$$ — точка $$A_1(x_1;y_1)$$.

Опустим из этих точек перпендикуляры на ось $$x$$. Тогда получим прямоугольные треугольники, в которых один острый угол равен $$\alpha$$, а другой — $$180^\circ-\alpha$$.

Треугольники равны по гипотенузе и острому углу, значит, их соответствующие катеты равны:

$$y_1=y,\qquad x_1=-x.$$

Теперь найдём тригонометрические функции угла $$180^\circ-\alpha$$:

$$\sin(180^\circ-\alpha)=\frac{y_1}{R}=\frac{y}{R}=\sin\alpha,$$

$$\cos(180^\circ-\alpha)=\frac{x_1}{R}=\frac{-x}{R}=-\cos\alpha,$$

$$\ctg(180^\circ-\alpha)=\frac{\cos(180^\circ-\alpha)}{\sin(180^\circ-\alpha)} =\frac{-\cos\alpha}{\sin\alpha}=-\ctg\alpha.$$

Следовательно, для любого угла $$\alpha$$, где $$0^\circ<\alpha<180^\circ$$, справедливо:

$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\qquad \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha,\qquad \ctg(180^\circ-\alpha)=-\ctg\alpha.$$