Упр.5.14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Окружности с центрами O и O₁ пересекаются в точках A и B. Докажите, что прямая AB перпендикулярна прямой OO₁.
Докажите, что две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках.

Подробный ответ

Пусть окружности с центрами $$O$$ и $$O_1$$ пересекаются в точках $$A$$ и $$B$$.

1)

Докажем, что $$AB \perp OO_1$$.

Рассмотрим треугольники $$OAO_1$$ и $$OBO_1$$. Имеем:

$$OA=OB$$ — радиусы первой окружности;
$$O_1A=O_1B$$ — радиусы второй окружности;
$$OO_1$$ — общая сторона.

Следовательно, $$\triangle OAO_1 \cong \triangle OBO_1$$ по трём сторонам. Отсюда

$$\angle AOO_1=\angle BOO_1.$$

Значит, прямая $$OO_1$$ является биссектрисой угла $$AOB$$. Но треугольник $$AOB$$ равнобедренный, так как $$OA=OB$$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также высотой. Поэтому

$$OO_1 \perp AB.$$

2)

Докажем, что две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках.

Предположим, что кроме точек $$A$$ и $$B$$ окружности пересекаются ещё и в точке $$C$$. Тогда, по доказанному выше,

$$AC \perp OO_1 \quad \text{и} \quad BC \perp OO_1.$$

Значит, прямые $$AC$$ и $$BC$$ параллельны. Но они имеют общую точку $$C$$, а значит, совпадают. Тогда точки $$A$$ и $$B$$ лежали бы на одной прямой с $$C$$, что невозможно для двух различных точек пересечения окружностей.

Следовательно, две окружности могут иметь не более двух общих точек.