Вопрос 14 Параграф 5 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Объясните, как через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой. Построить: прямую, перпендикулярную данной прямой.
Возможны два случая расположения точки $$O$$ и прямой $$a$$.
Точка $$O$$ не лежит на прямой $$a$$.
Из точки $$O$$ проводим окружность произвольного радиуса и отмечаем точки $$A$$ и $$B$$ пересечения этой окружности с прямой $$a$$.
Из точек $$A$$ и $$B$$ проводим окружности радиусами $$AO$$ и $$BO$$. Они пересекутся в точках $$O$$ и $$C$$.
Прямая $$OC$$ пересекает прямую $$a$$ в точке $$D$$. Так как $$AO=BO$$, то треугольник $$ABO$$ равнобедренный. Точка $$D$$ — середина отрезка $$AB$$, значит, $$OD$$ — медиана. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой, поэтому $$OD \perp AB$$. Следовательно, $$OC \perp a$$.
Точка $$O$$ лежит на прямой $$a$$.
Из точки $$O$$ проводим окружность произвольного радиуса и отмечаем точки $$A$$ и $$B$$ пересечения этой окружности с прямой $$a$$.
Из точек $$A$$ и $$B$$ проводим окружности радиусом $$AB$$. Они пересекутся в точке $$C$$.
Тогда $$AC=BC$$, $$AO=BO$$ и $$CO$$ — общая сторона, значит, треугольники $$ACO$$ и $$BCO$$ равны по трём сторонам. Отсюда $$\angle AOC=\angle COB$$. Эти углы смежные, значит, каждый из них равен $$90^\circ$$. Следовательно, $$CO \perp a$$.
