Упр.11.14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины
прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному;
Доказательство:
1) Пусть треугольник ABC-прямоугольный, у которого: угол A=a и угол C=90°;
2) Опустим высоту CH;
3) По теореме о сумме углов треугольника в треугольник ABC:
угол BAC=90°- угол ABC=90°-a;
4) По теореме о сумме углов треугольника в треугольник BCH:
угол BCH=90°- угол HBC=90°-a;
5) Таким образом, у прямоугольных треугольников AHC и CHB острые
углы равны, значит эти треугольники подобны, что и требовалось
Доказать,

Подробный ответ

Пусть $$\triangle ABC$$ — прямоугольный, $$\angle C=90^\circ$$. Опустим из вершины $$C$$ высоту $$CH$$ на гипотенузу $$AB$$.

Тогда $$\angle AHC=90^\circ$$ и $$\angle CHB=90^\circ$$, то есть треугольники $$AHC$$ и $$CHB$$ прямоугольные.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$\angle A+\angle B=90^\circ$$, то

$$\angle A=\angle ACH?$$

Удобнее сравнить углы напрямую:

1) В треугольниках $$ABC$$ и $$AHC$$ угол $$A$$ общий, а также $$\angle AHC=\angle C=90^\circ$$. Значит, $$\triangle AHC \sim \triangle ABC$$ по двум углам.

2) В треугольниках $$ABC$$ и $$CHB$$ угол $$B$$ общий, а также $$\angle CHB=\angle C=90^\circ$$. Значит, $$\triangle CHB \sim \triangle ABC$$ по двум углам.

Следовательно, высота $$CH$$ делит прямоугольный треугольник на два треугольника, каждый из которых подобен исходному.