Вопрос 14 Параграф 9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 14. Докажите, что симметрия относительно прямой есть движение.

Примем данную прямую за ось $$Oy$$ декартовой системы координат. Пусть произвольная точка $$A(x;y)$$ переходит при симметрии относительно этой прямой в точку $$A'(x’;y’).$$

По определению симметрии относительно прямой у точек $$A$$ и $$A’$$ равны ординаты, а абсциссы отличаются только знаком, то есть

$$x’=-x,\qquad y’=y.$$

Возьмём две произвольные точки $$A(x_1;y_1)$$ и $$B(x_2;y_2).$$ При симметрии относительно оси $$Oy$$ они перейдут в точки $$A'(-x_1;y_1)$$ и $$B'(-x_2;y_2).$$

Найдём расстояния между этими точками:

$$AB^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2,$$

$$A’B’^2=\bigl((-x_2)-(-x_1)\bigr)^2+(y_2-y_1)^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2.$$

Следовательно, $$AB^2=A’B’^2,$$ значит, $$AB=A’B’.$$

Итак, расстояние между любыми двумя точками фигуры при симметрии относительно прямой сохраняется. Значит, симметрия относительно прямой является движением.

Ответ

Симметрия относительно прямой сохраняет расстояния между точками, следовательно, является движением.