Упр.14.14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите стороны ромба, зная, что его диагонали относятся как $$1:2$$, а площадь ромба равна $$12\ \text{см}^2$$.

Пусть $$ABCD$$ — данный ромб, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей.

По условию диагонали относятся как $$1:2$$, значит можно считать, что

$$BD=x,\qquad AC=2x.$$

Площадь ромба выражается через диагонали:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD.$$

Тогда

$$12=\frac{1}{2}\cdot 2x\cdot x=x^2,$$

откуда

$$x=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.$$

Следовательно,

$$BD=2\sqrt{3},\qquad AC=4\sqrt{3}.$$

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, значит

$$BO=\frac{BD}{2}=\sqrt{3},\qquad AO=\frac{AC}{2}=2\sqrt{3}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB$$. По теореме Пифагора:

$$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{12+3}=\sqrt{15}.$$

Так как все стороны ромба равны, то его сторона равна $$\sqrt{15}$$ см.

Ответ: $$\sqrt{15}\text{ см}$$.