Упр.13.14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что взятые через одну вершины правильного $$2n$$-угольника являются вершинами правильного $$n$$-угольника.

Пусть $$A_1A_2A_3\dots A_{2n}$$ — правильный $$2n$$-угольник. Тогда все его стороны равны, а все внутренние углы равны.

Соединим через одну вершины: $$A_1A_3,\ A_3A_5,\ A_5A_7,\dots$$ Получим $$n$$-угольник.

Рассмотрим треугольники $$A_1A_2A_3$$, $$A_3A_4A_5$$ и $$A_5A_6A_7$$. Так как многоугольник правильный, то

$$A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5=A_5A_6=A_6A_7$$

и

$$\angle A_2=\angle A_4=\angle A_6.$$

Следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$A_1A_3=A_3A_5=A_5A_7.$$

Значит, все стороны полученного $$n$$-угольника равны.

Теперь сравним его углы. Из равенства треугольников следует, что

$$\angle A_1A_3A_5=\angle A_3A_5A_7.$$

То есть углы между соседними сторонами полученного многоугольника равны.

Итак, у полученного $$n$$-угольника все стороны равны и все углы равны, значит, он правильный.

Ответ: взятые через одну вершины правильного $$2n$$-угольника являются вершинами правильного $$n$$-угольника.