Вопрос 14 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Сформулируйте и докажите свойство и признак описанного четырёхугольника.

Подробный ответ

I. Свойство описанного четырёхугольника. Пусть стороны четырёхугольника $$ABCD$$ касаются окружности в точках $$K, L, M, N$$. Тогда по свойству касательных, проведённых из одной точки, имеем:

$$AK=AN,\quad BK=BL,\quad CL=CM,\quad DM=DN.$$

Сложим равные отрезки:

$$AB=AK+KB,\qquad CD=CM+MD,$$

$$AD=AN+ND,\qquad BC=BL+LC.$$

Тогда

$$AB+CD=(AK+KB)+(CM+MD)=(AN+ND)+(BL+LC)=AD+BC.$$

Значит, в описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

II. Признак описанного четырёхугольника. Пусть у выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$

$$AB+CD=BC+AD.$$

Докажем, что в него можно вписать окружность.

Рассмотрим случай, когда соседние стороны не равны. Пусть $$AB>BC$$, тогда из равенства

$$AB+CD=BC+AD$$

получаем

$$AB-BC=AD-CD.$$

Отложим на сторонах с общей вершиной $$A$$ отрезки $$BM=BC$$ и $$DN=CD$$. Тогда

$$AM=AB-BC,\qquad AN=AD-CD,$$

следовательно,

$$AM=AN.$$

Значит, треугольник $$AMN$$ равнобедренный. Аналогично треугольники $$CBM$$ и $$CDN$$ тоже равнобедренные.

Проведём медианы этих треугольников к их основаниям. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является одновременно высотой и биссектрисой. Поэтому соответствующие прямые являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника $$CMN$$ и пересекаются в одной точке $$O$$.

Тогда лучи $$AO$$, $$BO$$ и $$DO$$ являются биссектрисами углов $$A$$, $$B$$ и $$D$$ четырёхугольника $$ABCD$$. Так как четырёхугольник выпуклый, эти биссектрисы лежат внутри него. Следовательно, точка $$O$$ равноудалена от всех его сторон, а значит, в четырёхугольник $$ABCD$$ можно вписать окружность.

Итак, если в выпуклом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то он описан около окружности.