Вопрос 14 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
I) Свойство и признак описанного четырехугольника:
В описанном четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны;
и наоборот: если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих
сторон равны, то в него можно вписать окружность;
II) Отобразим условие задачи:
Доказать: свойство и признак описанного четырехугольника;
Доказательство:
1) Пусть стороны описанного четырехугольника ABCD касаются
окружности в точках K, L, M и N;
2) По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки:
AK=AN, BK=BL, CL=CM и DM=DN;
3) Получаем: (AK+KB)+(CM+MD)=(AN+ND)+(BL+LC), то есть
AB+CD=AD+BC, значит свойство описанного четырехугольника
доказано.
4) Обратно: пусть у выпуклого четырехугольника ABCD суммы
противолежащих сторон равны: AB+CD=BC+AD;
5) Если ABCD-ромб, то он является описанным около окружности с
центром в точке пересечения его диагоналей;
6) Рассмотрим теперь случай, когда у выпуклого четырехугольника
есть неравные соседние стороны;
7) Допустим, что AB > BC, а значит, AD > CD;
8) Отложим на сторонах с общей вершиной A следующие отрезки:
BM=BC, DN=CD;
9) AB+CD=BC+AD, отсюда AB-BC=AD-CD, значит:
AM=AB-BC=AD-CD=AN;
10) Треугольник AMN-равнобедренный с основанием MN;
11) Треугольник CBM-равнобедренный с основанием CM;
12) Треугольник CDN-равнобедренный с основанием CN;
13) По свойству медианы равнобедренного треугольника медианы этих
треугольников, проведенные к их основаниям, являются их высотами,
значит прямые, содержащие эти высоты-серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника CMN и поэтому пересекаются в одной точке O;
14) Те же самые медианы являются и биссектрисами равнобедренных
треугольников AMN, CBM и CDN, поэтому лучи AO, BO и DO-биссектрисы
углов A, B и D четырехугольника ABCD, которые образуют с его сторонами
острые углы, так как по услвию данный четыреухгольник выпуклый;
15) Значит по свойсту биссектрисы точка O равноудалена от всех сторон
четырехугольника ABCD, и поэтому он является описанным около
окружности с центром в этой точке, следовательно признак описанного
четырехугольника доказан.
Сформулируем свойство и признак описанного четырёхугольника.
Свойство: в описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то есть $$AB+CD=BC+AD.$$
Признак: если в выпуклом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.
Докажем свойство. Пусть стороны описанного четырёхугольника $$ABCD$$ касаются окружности в точках $$K, L, M, N$$. Тогда по свойству касательных, проведённых из одной точки, имеем:
$$AK=AN,\quad BK=BL,\quad CL=CM,\quad DM=DN.$$
Сложим равные отрезки:
$$ AB+CD=(AK+KB)+(CM+MD) \\ =(AN+ND)+(BL+LC)=AD+BC. $$
Значит, $$AB+CD=BC+AD$$, что и требовалось доказать.
Докажем признак. Пусть у выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$ выполнено:
$$AB+CD=BC+AD.$$
Рассмотрим случай, когда соседние стороны не равны. Пусть $$AB>BC$$, тогда из равенства следует $$AD>CD$$.
Отложим на сторонах с общей вершиной $$A$$ отрезки $$BM=BC$$ и $$DN=CD$$. Тогда
$$ AM=AB-BC,\qquad AN=AD-CD. $$
Из условия $$AB+CD=BC+AD$$ получаем:
$$AB-BC=AD-CD,$$
следовательно, $$AM=AN$$. Значит, треугольник $$AMN$$ равнобедренный.
Кроме того, $$BM=BC$$, поэтому треугольник $$CBM$$ равнобедренный, и $$DN=CD$$, поэтому треугольник $$CDN$$ равнобедренный.
В равнобедренных треугольниках медианы, проведённые к основаниям, являются одновременно высотами и биссектрисами. Поэтому соответствующие прямые являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника $$CMN$$ и пересекаются в одной точке $$O$$.
Те же самые прямые являются биссектрисами углов $$A$$, $$B$$ и $$D$$ четырёхугольника $$ABCD$$. Следовательно, точка $$O$$ равноудалена от всех его сторон, а значит, через неё можно провести окружность, касающуюся всех сторон четырёхугольника.
Итак, в выпуклый четырёхугольник с равными суммами противоположных сторон можно вписать окружность.
Ответ
В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $$AB+CD=BC+AD$$. Обратно, если в выпуклом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.
