Упр.10.14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что для векторов $$\overrightarrow{AB}$$, $$\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$ имеет место неравенство $$|AC|<|AB|+|BC|$$.
2. Докажите, что для любых векторов $$a$$ и $$b$$ имеет место неравенство $$|a+b|<|a|+|b|$$.

1) Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По правилу сложения векторов

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.$$

Длина вектора равна длине соответствующего отрезка, значит

$$|AC|=|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|.$$

По неравенству треугольника для сторон треугольника $$ABC$$ имеем

$$AC\le AB+BC.$$

Следовательно,

$$|\overrightarrow{AC}|\le |\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BC}|,$$

что и требовалось доказать.

2) Пусть $$\overrightarrow{AB}=\vec a,\qquad \overrightarrow{BC}=\vec b.$$ Тогда по правилу сложения векторов

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec a+\vec b.$$

Из пункта 1 получаем

$$|\overrightarrow{AC}|\le |\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BC}|.$$

Подставляя обозначения, имеем

$$|\vec a+\vec b|\le |\vec a|+|\vec b|.$$

Это и требовалось доказать.