Упр.9.14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: точка (-3; 4);
Найти: координаты точки, симметричной данной, относительно
1) оси x; 2) оси y; 3) начала координат;
Решение:
Пусть A данная точка, а x и y ее координаты;
1) Точка Ax’, симметричная данной, лежит на перпендикуляре к оси x,
значит она имеет такую же абсциссу: x2=x1=-3;
Так как расстояния от точек A и Ax’ до точки пересечения оси x и
перпендикуляра, проведенного к ней из точки A одинаковы, то их
ординаты отличаются только знаком: y2=-y1=-4;
2) Точка Ay’, симметричная данной, лежит на перпендикуляре к оси y,
значит она имеет такую же оринату: y2=y1=4;
Так как расстояния от точек A и Ay’ до точки пересечения оси y и
перпендикуляра, проведенного к ней из точки A, одинаковы, то их
абсциссы отличаются только знаком: x2=-x1=3;
3) Точка A0′, симметричная данной лежит на прямой OA, при этом
AO=OA0′ (по определению симметрии относительно точки);
Опустим перпендикуляры AE и A0′ F на ось x;
угол AOE = углу A0′ OF (как вертикальные);
Прямоугольные треугольники AOE и A0′ OF равны по гипотенузе и
острому углу, отсюда: OF=OE и A0′ F=AE;
Значит, абсциссы и ординаты точек A0′ и A отличаются только знаком:
x2=-x1=3 и y2=-y1=-4;
Ответ: 1) (-3; -4); 2) (4; -3); 3) (3; -4).

Подробный ответ

Пусть дана точка $$A(-3;4)$$.

1) Симметрия относительно оси $$x$$. При отражении относительно оси $$x$$ абсцисса не меняется, а ордината меняет знак. Поэтому получаем точку

$$A_1(-3;-4).$$

2) Симметрия относительно оси $$y$$. При отражении относительно оси $$y$$ ордината не меняется, а абсцисса меняет знак. Значит, искомая точка имеет координаты

$$A_2(3;4).$$

3) Симметрия относительно начала координат. При отражении относительно начала координат обе координаты меняют знак. Следовательно, получаем точку

$$A_3(3;-4).$$