Упр.8.14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 14. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках А (-1; -2), В (2; -5), С (1; -2), D (-2; 1) является параллелограммом. Найдите точку пересечения его диагоналей.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — середина диагонали $$AC$$, а $$O_1$$ — середина диагонали $$BD$$.

Найдём координаты точки $$O$$:

$$ x_O=\frac{-1+1}{2}=0,\qquad y_O=\frac{-2+(-2)}{2}=-2. $$

Значит, $$O(0;\,-2)$$.

Найдём координаты точки $$O_1$$:

$$ x_{O_1}=\frac{2+(-2)}{2}=0,\qquad y_{O_1}=\frac{-5+1}{2}=-2. $$

Значит, $$O_1(0;\,-2)$$.

Итак, точки $$O$$ и $$O_1$$ совпадают. Следовательно, диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются и делятся пополам одной и той же точкой.

По признаку параллелограмма четырёхугольник $$ABCD$$ является параллелограммом.

Точка пересечения его диагоналей имеет координаты $$\left(0;\,-2\right)$$.