Вопрос 14 Параграф 9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что симметрия относительно прямой есть движение.

Подробный ответ

Пусть данную прямую выбрали за ось $$Oy$$ декартовой системы координат. Возьмём произвольную точку $$A(x;y)$$ и её образ при симметрии относительно этой прямой — точку $$A'(x’;y’)$$.

По определению симметрии относительно прямой у точек $$A$$ и $$A’$$ равны ординаты, а абсциссы отличаются только знаком, то есть

$$x’=-x,\qquad y’=y.$$

Рассмотрим две произвольные точки $$A(x_1;y_1)$$ и $$B(x_2;y_2)$$. При симметрии относительно оси $$Oy$$ они перейдут в точки

$$A'(-x_1;y_1),\qquad B'(-x_2;y_2).$$

Найдём расстояния между соответствующими точками:

$$AB^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2,$$

$$A’B’^2=\bigl((-x_2)-(-x_1)\bigr)^2+(y_2-y_1)^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2.$$

Следовательно, $$AB^2=A’B’^2$$, значит, $$AB=A’B’$$.

Итак, расстояние между любыми двумя точками фигуры при симметрии относительно прямой сохраняется. Следовательно, симметрия относительно прямой есть движение.