Упр.5.14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

2) Докажите, что две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках.
I) Отобразим условие задачи:
Дано: окружности с центрами в точках O и O1 пересекаются в
точках A и B;
Доказать: прямая AB перпендикулярна прямой OO1;
Доказательство:
1) Пусть M-точка пересечения прямых AB и OO1;
2) OA=OB и O1 A=O1 B (радиусы данных окружностей);
3) Треугольники OAO1 и OBO1 равны по третьему признаку
(OO1-общая сторона), отсюда угол AOO1 = углу BOO1;
4) Рассмотрим треугольник AOB-равнобедренный:
угол AOM = углу MOB, значит OM-биссектриса и высота, значит
угол OMB=90°;
5) Таким образом, прямые AB и OO1 перпендикулярны, что и
требовалось доказать.
II)
Доказать: две окружности не могут пересекаться более, чем в двух
точках;
Доказательство:
1) Пусть окружности с центрами в точках O и O1 пересекаются в
точках A и B, тогда из доказанного AB перпендикулярен OO1;
2) Допустим, что окружности пересекаются в третьей точке C,
тогда AC перпендикулярен OO1 и BC перпендикулярен OO1, значит AC||BC;
3) Так как прямые AC и BC имеют общую точку, то они не могут быть
параллельны, значит такой точки C не существует;
4) Таким образом, окружности могут пересекаться не более, чем в
двух точках, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

1) Пусть окружности с центрами $$O$$ и $$O_1$$ пересекаются в точках $$A$$ и $$B$$. Обозначим через $$M$$ точку пересечения прямых $$AB$$ и $$OO_1$$.

Так как $$OA=OB$$ и $$O_1A=O_1B$$ как радиусы соответствующих окружностей, то точки $$O$$ и $$O_1$$ равноудалены от $$A$$ и $$B$$. Значит, прямая $$OO_1$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AB$$.

Следовательно, $$AB \perp OO_1$$.

2) Докажем, что две окружности не могут иметь более двух общих точек.

Предположим противное: окружности с центрами $$O$$ и $$O_1$$ имеют три общие точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Тогда по пункту 1 прямая $$OO_1$$ перпендикулярна прямой $$AB$$, а также перпендикулярна прямой $$AC$$.

Из этого следует, что $$AB \parallel AC$$. Но прямые $$AB$$ и $$AC$$ имеют общую точку $$A$$, значит, они не могут быть параллельными. Противоречие.

Следовательно, две окружности могут пересекаться не более чем в двух точках.