Вопрос 13 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом; диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный ромб, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей.

Так как ромб является параллелограммом, то его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, $$AO=OC$$ и $$BO=OD$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. В нём $$AB=BC$$, так как все стороны ромба равны. Следовательно, треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$.

Отрезок $$BO$$ соединяет вершину $$B$$ с серединой основания $$AC$$, значит, $$BO$$ — медиана треугольника $$ABC$$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является одновременно биссектрисой и высотой. Поэтому $$BO$$ — биссектриса угла $$B$$ и $$BO \perp AC$$.

Аналогично, в треугольнике $$ADC$$ имеем $$AD=DC$$, значит, диагональ $$DO$$ является биссектрисой угла $$D$$ и $$DO \perp AC$$.

Следовательно, диагонали ромба пересекаются под прямым углом, а каждая диагональ является биссектрисой соответствующих углов ромба.