Упр.5.13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Точки $$\text{А}, \text{В}, \text{С}$$ лежат на прямой, а точка $$\text{О}$$ — вне прямой. Могут ли два треугольника $$\text{АОВ}$$ и $$\text{ВОС}$$ быть равнобедренными с основаниями $$\text{АВ}$$ и $$\text{ВС}$$? Обоснуйте ответ.
- Могут ли окружность и прямая пересекаться более чем в двух точках?
1) Предположим, что треугольники $$AOB$$ и $$BOC$$ равнобедренные с основаниями $$AB$$ и $$BC$$. Тогда
$$AO=BO,\qquad BO=CO.$$
Следовательно, $$AO=BO=CO$$. Значит, треугольник $$AOC$$ равнобедренный, поэтому его углы при основании равны:
$$\angle OAC=\angle ACO.$$
Так как точки $$A, B, C$$ лежат на одной прямой, то лучи $$AB$$ и $$AC$$ совпадают, а лучи $$CB$$ и $$CA$$ совпадают. Поэтому
$$\angle OAB=\angle OAC,\qquad \angle OCB=\angle OCA.$$
Из равенства $$AO=BO$$ следует, что треугольник $$AOB$$ равнобедренный, значит
$$\angle OAB=\angle OBA.$$
Из равенства $$BO=CO$$ следует, что треугольник $$BOC$$ равнобедренный, значит
$$\angle OCB=\angle OBC.$$
Тогда
$$\angle OBA=\angle OBC.$$
Но углы $$\angle OBA$$ и $$\angle OBC$$ смежные, значит их сумма равна $$180^\circ$$. Если они равны, то каждый из них равен $$90^\circ$$. Тогда в треугольнике $$AOB$$ два угла прямые, что невозможно. Следовательно, такие треугольники не могут быть равнобедренными.
2) Окружность и прямая не могут пересекаться более чем в двух точках. Если бы прямая пересекала окружность в трёх точках $$A, B, C$$, то точки $$A, B, C$$ лежали бы на одной прямой, а отрезки $$OA, OB, OC$$ были бы радиусами одной окружности, то есть
$$OA=OB=OC.$$
Тогда треугольники $$AOB$$ и $$BOC$$ были бы равнобедренными с основаниями $$AB$$ и $$BC$$, что противоречит пункту 1. Значит, прямая и окружность могут иметь не более двух общих точек.
Ответ: 1) не могут; 2) не могут.
