Упр.4.13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Прямые $$AC$$ и $$BD$$ параллельны, причём точки $$A$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от секущей $$BC$$ (см. рис. 77). Докажите, что:
   
   1) углы $$\angle DBC$$ и $$\angle ACB$$ — внутренние накрест лежащие относительно секущей $$BC$$;
   
   2) луч $$BC$$ проходит между сторонами угла $$ABD$$;
   
   3) углы $$\angle CAB$$ и $$\angle DBA$$ — внутренние односторонние относительно секущей $$AB$$.

Пусть $$AC \parallel BD$$, а точки $$A$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от прямой $$BC$$.

1. Прямая $$BC$$ пересекает параллельные прямые $$AC$$ и $$BD$$ в точках $$C$$ и $$B$$. Так как точки $$A$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от секущей $$BC$$, то углы $$DBC$$ и $$ACB$$ являются внутренними накрест лежащими относительно секущей $$BC$$.

2. Точки $$A$$ и $$D$$ лежат на сторонах угла $$ABD$$ и находятся по разные стороны от прямой $$BC$$. Значит, отрезок $$AD$$ пересекает прямую $$BC$$ в некоторой точке $$X$$.

   Через точку $$X$$ проведём прямую $$x$$, параллельную прямым $$AC$$ и $$BD$$. Тогда точки $$A$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от $$x$$, а значит, луч $$BC$$ пересекает отрезок $$AD$$. Следовательно, луч $$BC$$ проходит между сторонами угла $$ABD$$.

3. Так как луч $$BC$$ проходит внутри угла $$ABD$$, то точки $$C$$ и $$D$$ лежат по одну сторону от секущей $$AB$$. Поэтому углы $$CAB$$ и $$DBA$$ являются внутренними односторонними относительно секущей $$AB$$.