Упр.2.13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что если три из четырёх углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равны, то прямые перпендикулярны.

Пусть $$a$$ и $$b$$ — данные пересекающиеся прямые, а $$a_1, a_2, b_1, b_2$$ — образованные ими полупрямые.

По условию три из четырёх углов равны, значит

$$\angle(a_1b_2)=\angle(a_2b_1)=\angle(a_2b_2).$$

Смежные углы в сумме дают $$180^\circ$$, поэтому

$$\angle(a_1b_2)=180^\circ-\angle(a_1b_1),$$

$$\angle(a_2b_1)=180^\circ-\angle(a_2b_2).$$

Вертикальные углы равны, следовательно

$$\angle(a_2b_2)=\angle(a_1b_1).$$

Тогда

$$\angle(a_2b_1)=180^\circ-\angle(a_1b_1).$$

Но по условию $$\angle(a_2b_1)=\angle(a_1b_1)$$, значит

$$180^\circ-\angle(a_1b_1)=\angle(a_1b_1),$$

откуда

$$2\angle(a_1b_1)=180^\circ,$$

$$\angle(a_1b_1)=90^\circ.$$

Следовательно, прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются под прямым углом, то есть $$a\perp b$$.