Вопрос 13 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Отобразим условие задачи:
Доказать: диагонали ромба пересекаются под прямым углом;
диагонали ромба являются биссектрисами его углов;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данный ромб, а O-точка пересечения его диагоналей;
2) По свойству параллелограмма AO=OC, значит в треугольнике ABC
отрезок BO является медианой;
3) Так как ABCD-ромб, то AB=BC, значит треугольник ABC-равнобедренный;
4) По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная
к его основанию, является биссектрисой и высотой;
5) Таким образом, диагональ BD является биссектрисой угла B и
перпендикулярна диагонали AC, что и требовалось доказать.

Пусть $$ABCD$$ — данный ромб, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей.

Так как ромб является параллелограммом, то его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, $$AO=OC$$ и $$BO=OD$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. В нём $$AB=BC$$, так как все стороны ромба равны. Следовательно, $$\triangle ABC$$ — равнобедренный с основанием $$AC$$.

Поскольку $$BO$$ — медиана треугольника $$ABC$$, проведённая к основанию $$AC$$, то по свойству равнобедренного треугольника она является одновременно биссектрисой и высотой. Значит,

$$BO \perp AC$$

и

$$\angle ABO=\angle OBC.$$

Но $$BO$$ лежит на диагонали $$BD$$, поэтому

$$BD \perp AC.$$

Аналогично диагональ $$AC$$ делит углы $$A$$ и $$C$$ пополам, то есть является биссектрисой этих углов. Следовательно, диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.

Ответ

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.