Упр.14.13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

Пусть $$ABCD$$ — данный ромб, его диагонали равны $$BD=d_1$$ и $$AC=d_2$$. Обозначим через $$O$$ точку их пересечения.

По свойствам ромба диагонали перпендикулярны и делят друг друга пополам, значит

$$AC \perp BD,\qquad AO=OC=\frac{d_2}{2}.$$

Площадь ромба равна сумме площадей треугольников $$ABD$$ и $$BCD$$:

$$S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}.$$

Треугольники $$ABD$$ и $$BCD$$ равны по третьему признаку, поэтому их площади равны. Следовательно,

$$S_{ABCD}=2S_{ABD}.$$

Найдём площадь треугольника $$ABD$$ через основание $$BD$$ и высоту $$AO$$:

$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\,BD\cdot AO.$$

Тогда

$$S_{ABCD}=2\cdot \frac{1}{2}\,BD\cdot AO =BD\cdot AO =d_1\cdot \frac{d_2}{2} =\frac{1}{2}d_1d_2.$$

Итак, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.