Упр.12.13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что в теореме синусов каждое из трёх отношений $$\frac{a}{\sin\alpha}$$, $$\frac{b}{\sin\beta}$$, $$\frac{c}{\sin\gamma}$$ равно $$2R$$, где $$R$$ — радиус окружности, описанной около треугольника.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, где $$BC=a$$, $$AC=b$$, $$AB=c$$, а $$\angle A=\alpha$$, $$\angle B=\beta$$, $$\angle C=\gamma$$.

Опишем около треугольника $$ABC$$ окружность радиуса $$R$$ с центром в точке $$O$$ и проведём её диаметр $$BD$$. Тогда

$$BD=2R.$$

Рассмотрим угол $$\angle CDB$$. По свойству вписанных углов он либо равен $$\angle BAC=\alpha$$, либо равен $$180^\circ-\alpha$$. В обоих случаях

$$\sin \angle CDB=\sin \alpha,$$

так как $$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha.$$

В прямоугольном треугольнике $$BCD$$ имеем

$$\sin \angle CDB=\frac{BC}{BD}=\frac{a}{2R}.$$

Следовательно,

$$\sin\alpha=\frac{a}{2R},$$

откуда