Вопрос 13 Параграф 4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ внешний угол при вершине $$B$$ равен $$\angle CBD$$.

Углы $$\angle CBA$$ и $$\angle CBD$$ смежные, поэтому

$$\angle CBA+\angle CBD=180^\circ,$$

откуда

$$\angle CBD=180^\circ-\angle CBA.$$

Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle CAB+\angle ABC+\angle ACB=180^\circ.$$

Тогда

$$\angle CBD=180^\circ-\angle CBA=\angle CAB+\angle ACB.$$

Следовательно, внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Поэтому он больше каждого из них в отдельности:

$$\angle CBD>\angle CAB,\qquad \angle CBD>\angle ACB.$$