Упр.3.13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 13. От вершины С равнобедренного треугольника ABC с основанием АВ отложены равные отрезки: СА, на стороне СА и СВ1 на стороне СВ. Докажите равенство треугольников: 1) САВ1 и СВА1; 2) АВВ1 и ВАА1. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 pogorelov7-9 3-13 76

Подробный ответ

1) Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$CA=CB$$ и $$\angle A=\angle B$$.

Рассмотрим треугольники $$CA B_1$$ и $$CB A_1$$. У них:

$$CA=CB$$;
$$CB_1=CA_1$$ по условию;
$$\angle ACB_1=\angle BCA_1$$, так как это углы при вершине $$C$$ между сторонами $$CA, CB$$ и лучами $$CB_1, CA_1$$, лежащими на сторонах $$CB$$ и $$CA$$.

Следовательно, $$\triangle CAB_1 \cong \triangle CBA_1$$ по первому признаку равенства треугольников.

2) Из равенства $$\triangle CAB_1$$ и $$\triangle CBA_1$$ получаем равенство соответствующих сторон:

$$AB_1=BA_1.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABB_1$$ и $$BAA_1$$. У них:

$$AB=BA$$ — общая сторона;
$$BB_1=AA_1$$, так как $$CB=CA$$ и $$CB_1=CA_1$$, значит
$$CB=CA=CA_1+AA_1,\qquad CA=CB=CB_1+BB_1,$$
откуда $$AA_1=BB_1$$;
$$AB_1=BA_1$$, что уже доказано.

Следовательно, $$\triangle ABB_1 \cong \triangle BAA_1$$ по первому признаку равенства треугольников.