Вопрос 13 Параграф 8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

При каком условии прямая и окружность не пересекаются, пересекаются в двух точках, касаются?

Пусть $$R$$ — радиус окружности, а $$d$$ — расстояние от её центра до прямой.

Рассмотрим окружность с центром в начале координат и прямую, перпендикулярную оси $$x$$. Тогда уравнения можно записать так:

$$x^2+y^2=R^2,$$

$$x=d.$$

Точки пересечения прямой и окружности должны удовлетворять системе этих уравнений. Подставим $$x=d$$ в уравнение окружности:

$$d^2+y^2=R^2,$$

$$y^2=R^2-d^2,$$

$$y=\pm\sqrt{R^2-d^2}.$$

Теперь рассмотрим возможные случаи:

• если $$R>d$$, то $$R^2-d^2>0$$, и система имеет два решения; значит, прямая и окружность пересекаются в двух точках;
• если $$R=d$$, то $$R^2-d^2=0$$, и система имеет одно решение; значит, прямая и окружность касаются;
• если $$R<d$$, то $$R^2-d^2<0$$, и действительных решений нет; значит, прямая и окружность не пересекаются.

Ответ: прямая и окружность пересекаются в двух точках, если $$R>d$$; касаются, если $$R=d$$; не пересекаются, если $$R<d$$.