Упр.5.13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

2) Могут ли окружность и прямая пересекаться более чем в двух точках?
I) Отобразим условие задачи:
Дано: точки A, B и C лежат на одной прямой, а точка O-вне этой
прямой;
Вопрос: могут ли треугольникик AOB и BOC быть равнобедренными
с основаниями AB и BC;
Решение:
1) Допустим, что данные треугольники равнобедренные с основаниями
AB и BC, тогда AO=BO=CO (так как BO-общая сторона);
2) Треугольник AOC равнобедренный, значит угол OCB = углу OAB;
3) Треугольник OAB равнобедренный, значит угол OBA = углу OAB;
4) Треугольник OBC равнобедренный, значит угол OBC = углу OCB;
5) Следовательно углы OBC и OBA равны, а так как они смежные, то
угол OBC = углу OBA=90°;
6) угол OAB = углу OCB = углу OAB=90°, то есть в треугольнике AOB два
прямых угла, что невозможно, значит данные треугольники не
могут быть равнобедренными;
Ответ: не могут;
II)
Выяснить: могут ли окружность и прямая пересекаться более чем в
двух точках;
Решение:
1) Пусть даны окружность с центром в точке O и прямая AC пересекает
окружность в точках A, B и C;
2) Отрезки AO, OB и OC равны так как являются радиусами;
3) Таким образом, треугольники AOB и BOC равнобедренные с осно-
ванием AB и AC, что, как мы знаем, невозможно, следовательно прямая и
окружность не могут пересекаться более чем в двух точках;
Ответ: не могут.

Подробный ответ

1) Предположим, что треугольники $$AOB$$ и $$BOC$$ равнобедренные с основаниями $$AB$$ и $$BC$$ соответственно. Тогда

$$AO=BO,\qquad BO=CO.$$

Следовательно, $$AO=BO=CO$$.

Из равенства $$AO=BO$$ в треугольнике $$AOB$$ получаем $$\angle OAB=\angle OBA$$.

Из равенства $$BO=CO$$ в треугольнике $$BOC$$ получаем $$\angle OBC=\angle BCO$$.

Так как точки $$A, B, C$$ лежат на одной прямой, то углы $$\angle OBA$$ и $$\angle OBC$$ смежные, значит

$$\angle OBA+\angle OBC=180^\circ.$$

Но $$\angle OBA=\angle OAB$$, а $$\angle OBC=\angle BCO$$. Тогда в треугольнике $$AOC$$ получаем равенство двух углов при основании, и из условия $$AO=CO$$ следует, что треугольник $$AOC$$ тоже равнобедренный. Это возможно только в вырожденном случае, когда точки $$A, B, C$$ не лежат на одной прямой, что противоречит условию.

Значит, треугольники $$AOB$$ и $$BOC$$ с основаниями $$AB$$ и $$BC$$ быть равнобедренными не могут.

2) Пусть окружность и прямая пересекаются в трёх точках $$A, B, C$$. Тогда точки $$A, B, C$$ лежат на одной прямой, а отрезки $$OA, OB, OC$$ равны как радиусы окружности.

Но тогда, например, треугольники $$AOB$$ и $$BOC$$ равнобедренные с основаниями $$AB$$ и $$BC$$, что противоречит пункту 1. Следовательно, прямая и окружность не могут иметь более двух общих точек.