Упр.7.13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. В равностороннем треугольнике со стороной $$a$$ найдите высоту.

Пусть $$ABC$$ — равносторонний треугольник со стороной $$a$$, тогда

$$AB=BC=CA=a.$$

Проведём к основанию $$AC$$ высоту $$BD$$. В равностороннем треугольнике высота является также медианой, значит

$$AD=DC=\frac{a}{2}, \qquad BD \perp AC.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADB$$. По теореме Пифагора:

$$AB^2=AD^2+BD^2,$$

откуда

$$a^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+BD^2.$$

Тогда

$$BD^2=a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4},$$

следовательно,

$$BD=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ: $$\frac{a\sqrt{3}}{2}$$.