Упр.4.13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1) углы DBC и АСВ внутренние накрест лежащие относительно секущей ВС; 2) луч ВС проходит между сторонами угла ABD; 3) углы САВ и DBA внутренние односторонние относительно секущей АВ.
Дано: AC||BD; точки A и D лежат по разные стороны от BC;
I) Доказать: углы DBC и ACB внутренние накрест лежащие относительно
секущей BC;
Доказательство:
1) Секущая BC делит плоскость на две полуплоскости;
2) Точки A и D по условию лежат в разных полуплоскостях относительно
прямой BC, знаит углы DBC и ACB нутренние накрест лежащие по
определению, что и требовалось доказать.
II) Доказать: луч BC проходит между сторонами угла ABD;
Доказательство:
1) Точки A и D лежат на сторонах угла ABD и находятся в разных
полуплоскостях относительно прямой BC, значит отрезок AD и прямая
BC пересекаются в некоторой точке X;
2) Проведем через точку X прямую x, параллельную прямым AC и BD;
3) Прямая x разбивает плоскость на две полуплоскости, точки A и D
лежат в разных полуплоскостях (так как отрезок AD пересекает x в
точке X);
4) Точка C лежит в той же полуплоскости, что и точка A, а точка B в той
же полуплоскости, что и D, поэтому отрезок BC пересекает отрезок AD
(в точке X);
5) Таким образом, луч BC пересекает отрезок AD, лежащий на сторонах
угла ABD, следовательно он проходит между его сторонами, что и
требовалось доказать.
III) Доказать: углы CAB и DBA внутренние односторонние относительно
секущей AB;
Доказательство:
1) Точки C и D лежат по одну сторону от секущей AB (так как луч
BC проходит внутри угла ABD);
2) Таким образом, углы CAB и DBA-внутренние односторонние по
определению, что и требовалось доказать.

I) Рассмотрим прямую $$BC$$ как секущую к параллельным прямым $$AC$$ и $$BD$$. По условию точки $$A$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от прямой $$BC$$. Значит, углы $$DBC$$ и $$ACB$$ являются внутренними накрест лежащими относительно секущей $$BC$$.

II) Точки $$A$$ и $$D$$ лежат на сторонах угла $$ABD$$ и находятся по разные стороны от прямой $$BC$$. Следовательно, отрезок $$AD$$ пересекает прямую $$BC$$ в некоторой точке $$X$$.

Проведём через точку $$X$$ прямую $$x$$, параллельную прямым $$AC$$ и $$BD$$. Тогда точки $$A$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от прямой $$x$$, а точки $$B$$ и $$C$$ — в соответствующих полуплоскостях. Поэтому отрезок $$BC$$ пересекает отрезок $$AD$$ в точке $$X$$.

Значит, луч $$BC$$ пересекает отрезок $$AD$$, лежащий на сторонах угла $$ABD$$, то есть проходит между сторонами угла $$ABD$$.

III) Так как луч $$BC$$ проходит внутри угла $$ABD$$, то точки $$C$$ и $$D$$ лежат по одну сторону от секущей $$AB$$. Следовательно, углы $$CAB$$ и $$DBA$$ являются внутренними односторонними относительно секущей $$AB$$.

Ответ

$$\angle DBC$$ и $$\angle ACB$$ — внутренние накрест лежащие; луч $$BC$$ проходит между сторонами угла $$ABD$$; $$\angle CAB$$ и $$\angle DBA$$ — внутренние односторонние.