Вопрос 12 Параграф 7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что для любого острого угла $$\alpha$$ $$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$$, $$\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$$.

Пусть $$ABC$$ — прямоугольный треугольник, $$\angle C=90^\circ$$, $$\angle A=\alpha$$. Тогда второй острый угол треугольника равен

$$\angle B=90^\circ-\alpha.$$

По определению синуса и косинуса острого угла:

$$\sin \alpha=\frac{BC}{AB}, \qquad \cos \alpha=\frac{AC}{AB}.$$

Для угла $$\angle B$$ имеем:

$$\sin(90^\circ-\alpha)=\sin \angle B=\frac{AC}{AB}=\cos \alpha,$$

$$\cos(90^\circ-\alpha)=\cos \angle B=\frac{BC}{AB}=\sin \alpha.$$

Следовательно, для любого острого угла $$\alpha$$ справедливы равенства

$$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos \alpha,\qquad \cos(90^\circ-\alpha)=\sin \alpha.$$