Упр.14.12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: высота ромба равна 12 см, а меньшая диагональ 13 см;
Найти: площадь ромба:
Решение:
1) Пусть ABCD-данный ромб с меньшей диагональю: BD=13 см;
2) Из вершины B опустим высоту BH на сторону AD: BH=12 см;
3) Пусть O-точка пересечения диагоналей ромба;
4) По свойству ромба: AC||BD и OD=1/2 BD=13/2=6,5 см;
5) Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD:
HD=v(BD^2-BH^2 )=v(13^2-12^2 )=v(169-144)=v25=5 см;
6) Прямоугольные треугольники BHD и AOD подобны по общему
острому углу D, значит:
AD/BD=OD/HD, отсюда AD=(BD•OD)/HD=(13•6,5)/5=16,9 см;
7) Найдем площадь ромба:
S=AD•BH=16,9•12=202,8 см^2;
Ответ: 202,8 см^2.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный ромб, причём меньшая диагональ $$BD=13$$ см. Из вершины $$B$$ опустим высоту $$BH$$ на сторону $$AD$$, тогда $$BH=12$$ см.

Точка $$O$$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, значит

$$OD=\frac{1}{2}BD=\frac{13}{2}=6{,}5\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BHD$$:

$$HD=\sqrt{BD^2-BH^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5\text{ см}.$$

Прямоугольные треугольники $$BHD$$ и $$AOD$$ подобны по общему острому углу при $$D$$, поэтому

$$\frac{AD}{BD}=\frac{OD}{HD}.$$

Отсюда

$$AD=\frac{BD\cdot OD}{HD}=\frac{13\cdot 6{,}5}{5}=16{,}9\text{ см}.$$

Теперь найдём площадь ромба:

$$S=AD\cdot BH=16{,}9\cdot 12=202{,}8\text{ см}^2.$$