Вопрос 12 Параграф 5 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Объясните, как разделить данный угол пополам. Построить: биссектрису данного угла.

Пусть дан угол с вершиной $$A$$. Чтобы разделить его пополам, строят биссектрису следующим образом.

1. Из точки $$A$$ проводят окружность произвольного радиуса. Она пересечёт стороны угла в точках $$B$$ и $$C$$.
2. Из точек $$B$$ и $$C$$ тем же радиусом проводят окружности. Пусть их точка пересечения внутри угла — $$D$$.
3. Соединяют точки $$A$$ и $$D$$. Луч $$AD$$ — биссектриса данного угла.

Докажем это. Так как $$AB=AC$$ и $$BD=CD$$ по построению, а $$AD$$ — общая сторона, то треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$ равны по трём сторонам. Следовательно, соответствующие углы равны:

$$\angle DAB=\angle CAD.$$

Значит, луч $$AD$$ делит угол при вершине $$A$$ пополам, то есть является биссектрисой.