Вопрос 12 Параграф 3 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите третий признак равенства треугольников.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ — два треугольника, у которых

$$AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1,\quad BC=B_1C_1.$$

Докажем, что эти треугольники равны.

Предположим противное: треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ не равны. Тогда их соответствующие углы не могут быть попарно равны, иначе треугольники были бы равны по первому признаку.

Построим треугольник $$A_1B_1C_2$$, равный треугольнику $$ABC$$, так, чтобы точка $$C_2$$ лежала в одной полуплоскости с точкой $$C_1$$ относительно прямой $$A_1B_1$$.

Пусть $$D$$ — середина отрезка $$C_1C_2$$. Тогда $$C_1D=C_2D$$.

Треугольники $$A_1C_1C_2$$ и $$B_1C_1C_2$$ равнобедренные, так как

$$A_1C_1=A_1C_2,\quad B_1C_1=B_1C_2.$$

Следовательно, медианы $$A_1D$$ и $$B_1D$$ являются высотами, значит

$$A_1D\perp C_1C_2,\quad B_1D\perp C_1C_2.$$

Но через точку $$D$$ к прямой $$C_1C_2$$ можно провести только одну перпендикулярную прямую. Значит, прямые $$A_1D$$ и $$B_1D$$ совпадают. Это невозможно, так как точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$D$$ не лежат на одной прямой.

Получили противоречие. Следовательно, наше предположение неверно, и треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны.

Третий признак равенства треугольников доказан.