Упр.15.12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Через вершину $$A$$ прямоугольника $$ABCD$$ проведена прямая $$AK$$, перпендикулярная его плоскости. Расстояния от точки $$K$$ до других вершин прямоугольника равны $$6\ \text{м}$$, $$7\ \text{м}$$ и $$9\ \text{м}$$. Найдите отрезок $$AK$$.

Пусть $$AB=a,$$ $$BC=AD=b,$$ $$AK=x.$$

Так как $$AK \perp$$ плоскости прямоугольника $$ABCD,$$ то треугольники $$ABK,$$ $$ACK$$ и $$ADK$$ прямоугольные с прямым углом при $$A.$$ Тогда по теореме Пифагора:

$$BK^2=AB^2+AK^2 \Rightarrow 7^2=a^2+x^2,$$
$$DK^2=AD^2+AK^2 \Rightarrow 6^2=b^2+x^2,$$
$$CK^2=AC^2+AK^2 \Rightarrow 9^2=AC^2+x^2.$$

В прямоугольнике $$ABCD$$ диагональ $$AC$$ находим по теореме Пифагора:

$$AC^2=AB^2+BC^2=a^2+b^2.$$

Подставим это в равенство для $$CK$$:

$$a^2+b^2+x^2=81.$$

Сложим первые два уравнения:

$$a^2+b^2+2x^2=49+36=85.$$

Вычтем из этого равенства полученное выше:

$$x^2=85-81=4,$$

откуда

$$x=2.$$

Ответ: $$2\text{ м}$$.