Вопрос 12 Параграф 3 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Третий признак равенства треугольников:
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем
сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны;
Доказательство:
1) Пусть ABC и A1 B1 C1-два треугольника, у которых: AB=A1 B1,
AC=A1 C1 и BC=B1 C1;
2) Допустим, что треугольники не равны, тогда у них угол A не равен угол A1,
угол B не равен угол B1 и угол C не равен угол C1, иначе они были бы равны по перому признаку;
3) Пусть A1 B1 C2-треугольник, равный треугольнику ABC, у которого
вершина C2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C1 относительно
прямой A1 B1;
4) Пусть точка D-середина отрезка C1 C2, тогда C1 D=C2 D;
5) Треугольники A1 C1 C2 и B1 C1 C2 равнобедренные с общим основанием
C1 C2, поэтому их медианы A1 D и B1 D являются высотами, значит прямые
A1 D и B1 D перпендикулярны прямой C1 C2;
6) Прямые A1 D и B1 D не совпадают, так как точки A1, B1 и D не лежат
на одной прямой, но через точку D прямой C1 C2 можно провести только
одну перпендикулярную ей прямую;
7) Так как мы пришли к противоречию, то углы треугольников ABC
и A1 B1 C1 равны, значит они равны, что и требовалось доказать.

Докажем третий признак равенства треугольников: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть $$AB=A_1B_1,$$ $$AC=A_1C_1,$$ $$BC=B_1C_1.$$

Предположим, что треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ не равны.

Построим треугольник $$A_1B_1C_2,$$ равный треугольнику $$ABC,$$ так, чтобы точка $$C_2$$ лежала в одной полуплоскости с точкой $$C_1$$ относительно прямой $$A_1B_1.$$

Тогда $$A_1C_2=A_1C_1$$ и $$B_1C_2=B_1C_1.$$ Значит, треугольники $$A_1C_1C_2$$ и $$B_1C_1C_2$$ равнобедренные.

Пусть $$D$$ — середина отрезка $$C_1C_2.$$ Тогда $$C_1D=C_2D,$$ а в равнобедренных треугольниках медиана к основанию является высотой. Следовательно,

$$A_1D \perp C_1C_2,\qquad B_1D \perp C_1C_2.$$

Через точку $$D$$ к прямой $$C_1C_2$$ можно провести только одну перпендикулярную прямую. Значит, прямые $$A_1D$$ и $$B_1D$$ совпадают.

Но тогда точки $$A_1,$$ $$B_1,$$ $$D$$ лежат на одной прямой, что невозможно по построению. Получили противоречие.

Следовательно, наше предположение неверно, и треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны.

Ответ

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.