Вопрос 12 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Пусть $$CD$$ — биссектриса угла $$C$$ треугольника $$ABC$$, а точка $$D$$ лежит на стороне $$AB$$. Докажем, что

$$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{BC}.$$

Рассмотрим два случая.

1. Если треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AB$$, то $$AC=BC$$. Биссектриса из вершины равнобедренного треугольника является также медианой, значит $$AD=DB$$. Тогда

   $$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{BC}=1.$$

2. Пусть теперь $$AC\ne BC$$. Опустим перпендикуляры $$AF$$ и $$BE$$ из точек $$A$$ и $$B$$ на прямую $$CD$$.

   Треугольники $$ACF$$ и $$BCE$$ прямоугольные, а углы при вершине $$C$$ у них равны, так как $$CD$$ — биссектриса. Следовательно,

   $$\frac{AC}{BC}=\frac{AF}{BE}.$$

   Треугольники $$ADF$$ и $$BDE$$ тоже прямоугольные, и их острые углы при вершине $$D$$ равны как вертикальные. Значит,

   $$\frac{AF}{BE}=\frac{AD}{BD}.$$

   Из двух равенств получаем:

   $$\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BD}.$$

Итак, биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

$$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{BC}.$$