Упр.10.12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке M. Выразите векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$ через векторы $$\vec{a}=\overrightarrow{AM}$$, $$\vec{b}=\overrightarrow{BM}$$ (рис. 230).

По правилу треугольника для треугольника $$ABM$$ имеем

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}.$$

Так как $$\vec a=\overrightarrow{AM}, \qquad \vec b=\overrightarrow{BM},$$ то

$$\vec a=\overrightarrow{AB}+\vec b,$$

откуда

$$\overrightarrow{AB}=\vec a-\vec b.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BAM$$:

$$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BM}.$$

Подставляя $$\overrightarrow{AM}=\vec a,\qquad \overrightarrow{BM}=\vec b,$$ получаем

$$\overrightarrow{BA}+\vec a=\vec b,$$

значит,

$$\overrightarrow{BA}=\vec b-\vec a.$$

В параллелограмме противоположные стороны равны и сонаправлены, поэтому

$$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}=\vec b-\vec a.$$

Ответ: $$\overrightarrow{AB}=\vec a-\vec b,\qquad \overrightarrow{CD}=\vec b-\vec a.$$