Упр.9.12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Даны точки $$A$$, $$B$$, $$C$$. Постройте точку $$C’$$, симметричную точке $$C$$ относительно прямой $$AB$$.
Проведём окружность с центром в точке $$C$$ произвольного радиуса. Она пересечёт прямую $$AB$$ в точках $$E$$ и $$F$$.
Затем проведём окружности с центрами в точках $$E$$ и $$F$$ и радиусом $$EC$$. Эти окружности пересекутся в двух точках; одну из них обозначим $$C’$$.
Соединим точки $$C$$ и $$C’$$. Пусть $$O$$ — точка пересечения прямых $$CC’$$ и $$AB$$.
Так как $$CE=CF$$ и $$EC’=FC’$$, то точки $$C$$ и $$C’$$ равноудалены от $$E$$ и $$F$$. Следовательно, прямая $$CC’$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$EF$$, а значит, $$CC’ \perp AB$$.
Кроме того, точка $$O$$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$CC’$$, поэтому $$CO=OC’$$.
Итак, прямая $$AB$$ проходит через середину отрезка $$CC’$$ и перпендикулярна ему, значит, точка $$C’$$ симметрична точке $$C$$ относительно прямой $$AB$$.
