Упр.15.11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: через центр описанной около треугольника окружности проведена
прямая, перпендикулярная плоскости треугольника;
Доказать: все точки этой прямой равноудалены от вершин треугольника;
Доказательство:
1) Пусть ABC-данный треугольник и точка O-центр описанной около
него окружности, тогда: AO=BO=CO=R;
2) Возьмем произвольную точку X на прямой, перпендикулярной
плоскости ABC и проходящей через точку O;
3) По определению прямой, перпеникулярной плоскости, прямая XO
перпендикулярна прямым AO, BO и CO;
4) Прямоугольные треугольники AOX, BOX и COX равны по двум катетам
(XO-общая сторона), отсюда следует равенство их гипотенуз
AX=BX=CX, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, а $$O$$ — центр описанной около него окружности. Тогда

$$OA=OB=OC=R.$$

Возьмём произвольную точку $$X$$ на прямой, проходящей через $$O$$ и перпендикулярной плоскости треугольника $$ABC$$.

Так как $$XO \perp (ABC),$$ то прямая $$XO$$ перпендикулярна каждой прямой плоскости $$ABC,$$ проходящей через точку $$O,$$ в частности,

$$XO \perp OA,\quad XO \perp OB,\quad XO \perp OC.$$

Следовательно, треугольники $$AOX,$$ $$BOX$$ и $$COX$$ — прямоугольные, причём у них общий катет $$XO$$, а также

$$OA=OB=OC.$$

Значит, прямоугольные треугольники $$AOX,$$ $$BOX$$ и $$COX$$ равны по двум катетам. Отсюда их гипотенузы равны:

$$AX=BX=CX.$$

Итак, любая точка прямой, проведённой через центр описанной окружности перпендикулярно плоскости треугольника, равноудалена от вершин треугольника.