Вопрос 11 Параграф 7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите тождества: $$\sin^2 a+\cos^2 a=1$$; $$1+\tan^2 a=\frac{1}{\cos^2 a}$$; $$1+\cot^2 a=\frac{1}{\sin^2 a}$$.

Возьмём любой прямоугольный треугольник $$ABC$$ с прямым углом при вершине $$C$$ и углом $$\angle A=\alpha$$.

По теореме Пифагора:

$$BC^2+AC^2=AB^2.$$

Разделим обе части равенства на $$AB^2$$:

$$\left(\frac{BC}{AB}\right)^2+\left(\frac{AC}{AB}\right)^2=1.$$

По определениям тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:

$$\frac{BC}{AB}=\sin\alpha,\qquad \frac{AC}{AB}=\cos\alpha.$$

Тогда получаем:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.$$

Теперь разделим это тождество на $$\cos^2\alpha$$:

$$\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+1=\frac{1}{\cos^2\alpha}.$$

Так как $$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$, то

$$1+\tg^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}.$$

Аналогично, разделим тождество $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$ на $$\sin^2\alpha$$:

$$1+\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\frac{1}{\sin^2\alpha}.$$

Так как $$\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$$, получаем:

$$1+\ctg^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}.$$

Ответ: $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$, $$1+\tg^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$$, $$1+\ctg^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}$$.