Упр.5.11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Окружности с радиусами $$30\ \text{см}$$ и $$40\ \text{см}$$ касаются. Найдите расстояние между центрами окружностей в случаях внешнего и внутреннего касаний.

Пусть $$a$$ — общая касательная к окружностям, а $$A$$ — точка касания.

По свойству касательной $$a \perp AO_1$$ и $$a \perp AO_2$$, значит прямые, на которых лежат отрезки $$AO_1$$ и $$AO_2$$, параллельны. Так как они имеют общую точку $$A$$, то эти отрезки лежат на одной прямой.

Следовательно, расстояние между центрами окружностей равно длине отрезка $$O_1O_2$$.

1) При внешнем касании:

$$O_1O_2=O_1A+AO_2=30+40=70\text{ см}.$$

2) При внутреннем касании:

$$O_1O_2=\left|O_1A-AO_2\right|=\left|30-40\right|=10\text{ см}.$$

Ответ: $$70\text{ см}$$ при внешнем касании, $$10\text{ см}$$ при внутреннем касании.