Вопрос 11 Параграф 8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 11. Что такое угловой коэффициент прямой и каков его геометрический смысл?

Если уравнение прямой имеет вид $$ax+by+c=0$$ и $$b\neq 0$$, то его можно записать в виде

$$y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}.$$

Обозначим

$$k=-\frac{a}{b}, \qquad l=-\frac{c}{b}.$$

Тогда уравнение прямой принимает вид $$y=kx+l$$, а коэффициент $$k$$ называется угловым коэффициентом прямой.

Геометрический смысл углового коэффициента таков: если прямая образует с положительным направлением оси $$x$$ острый угол $$\alpha$$, то

$$k=\tg \alpha.$$

Если прямая убывает, то угол наклона берут тупым, и тогда

$$k=-\tg \alpha,$$

где $$\alpha$$ — острый угол между прямой и осью $$x$$.

Это следует из формулы для двух точек $$A(x_1;y_1)$$ и $$B(x_2;y_2)$$ на прямой:

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$$

Для возрастающей прямой это отношение равно $$\tg \alpha$$, а для убывающей — $$-\tg \alpha$$.

Ответ: угловой коэффициент прямой — это коэффициент $$k$$ в уравнении $$y=kx+l$$; геометрически он равен тангенсу угла наклона прямой к оси $$x$$: $$k=\tg \alpha$$ для возрастающей прямой и $$k=-\tg \alpha$$ для убывающей.