Вопрос 11 Параграф 14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Выведите формулу площади круга.

Пусть $$O$$ — центр круга, $$R$$ — его радиус. Впишем в круг правильный $$n$$-угольник и опишем около круга правильный $$n$$-угольник.

Обозначим через $$p$$ периметр вписанного многоугольника. Тогда площадь круга заключена между площадями этих двух многоугольников. При достаточно большом $$n$$ оба многоугольника мало отличаются от круга, а их площади стремятся к площади круга.

Разобьём вписанный правильный $$n$$-угольник на $$n$$ равных треугольников с вершиной в центре круга. Если половину центрального угла обозначить через $$a$$, то

$$a=\frac{360^\circ}{2n}.$$

Площадь одного такого треугольника равна

$$S_1=\frac{1}{2}R^2\sin 2a.$$

Тогда площадь вписанного многоугольника:

$$S_n=nS_1=\frac{n}{2}R^2\sin 2a.$$

Так как при $$n\to\infty$$ угол $$a\to 0$$, то $$\sin 2a\sim 2a$$, и потому

$$S_n\to n\cdot \frac{1}{2}R^2\cdot 2a=nR^2a.$$

Подставим $$a=\frac{180^\circ}{n}$$ в радианной мере: $$a=\frac{\pi}{n}$$. Тогда

$$S_n\to nR^2\cdot \frac{\pi}{n}=\pi R^2.$$

Следовательно, площадь круга равна

$$S=\pi R^2.$$

Ответ: $$S=\pi R^2$$.