Упр.13.11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что у четырёхугольника, описанного около окружности, суммы длин противолежащих сторон равны.

Пусть стороны четырёхугольника $$ABCD$$ касаются окружности с центром в точке $$O$$ в точках $$K, L, M, N$$ соответственно.

Так как касательная перпендикулярна радиусу, то

$$AB \perp OK,\quad BC \perp OL,\quad CD \perp OM,\quad DA \perp ON.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AKO$$ и $$ANO$$. У них:

$$AO$$ — общая гипотенуза, $$OK=ON$$ как радиусы одной окружности.

Следовательно, $$\triangle AKO \cong \triangle ANO$$ по гипотенузе и катету, значит

$$AK=AN.$$

Аналогично получаем:

$$\triangle BKO \cong \triangle BLO,\quad \triangle CLO \cong \triangle CMO,\quad \triangle DMO \cong \triangle DNO,$$

откуда

$$BK=BL,\quad CL=CM,\quad DM=DN.$$

Теперь сложим равные отрезки:

$$AB=AK+KB,\quad BC=BL+LC,\quad CD=CM+MD,\quad DA=DN+NA.$$

Тогда

$$AB+CD=(AK+KB)+(CM+MD)$$

и

$$AD+BC=(AN+ND)+(BL+LC).$$

С учётом равенств $$AK=AN$$, $$KB=BL$$, $$CM=CL$$, $$MD=DN$$ получаем

$$AB+CD=AD+BC.$$

Что и требовалось доказать.