Вопрос 11 Параграф 3 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к
основанию, является биссектрисой и высотой;
Доказательство:
1) Пусть ABC-данный равнобедренный треугольник с основанием
AB и CD-медиана, проведенная к основанию, тогда:
AC=CB, AD=DB и угол A = углу B;
2) Треугольники CAD и CBD равны по первому признаку равенства
треугольников, тогда угол ACD = углу BCD и угол ADC = углу BDC;
3) Так как углы ACD и BCD равны, то CD-биссектриса;
4) Так как смежные углы ADC и BDC равны, то они прямые, поэтому
CD-высота треугольника, что и требовалось доказать.

Пусть $$ABC$$ — равнобедренный треугольник с основанием $$AB$$, а $$CD$$ — медиана, проведённая к основанию. Тогда $$AC=BC$$, $$AD=DB$$, а также $$CD$$ — общая сторона треугольников $$ACD$$ и $$BCD$$.

Рассмотрим треугольники $$ACD$$ и $$BCD$$. В них:

• $$AC=BC$$;
• $$AD=DB$$;
• $$CD$$ — общая сторона.

Следовательно, $$\triangle ACD \cong \triangle BCD$$ по трём сторонам.

Из равенства треугольников получаем:

• $$\angle ACD=\angle BCD$$, значит, $$CD$$ — биссектриса угла $$C$$;
• $$\angle ADC=\angle BDC$$.

Но углы $$ADC$$ и $$BDC$$ смежные, а равные смежные углы могут быть только прямыми. Значит,

$$\angle ADC=\angle BDC=90^\circ.$$

Следовательно, $$CD \perp AB$$, то есть $$CD$$ — высота треугольника.

Ответ

Медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является биссектрисой и высотой.