Вопрос 11 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей для правильного треугольника, четырёхугольника (квадрата), шестиугольника.

Для правильного $$n$$-угольника со стороной $$a$$ радиус описанной окружности выражается формулой

$$R=\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}},$$

а радиус вписанной окружности — формулой

$$r=\frac{a}{2\tg\frac{180^\circ}{n}}.$$

1. Для правильного треугольника $$n=3,$$ поэтому

   $$\frac{180^\circ}{3}=60^\circ.$$

   Тогда

   $$R=\frac{a}{2\sin 60^\circ}=\frac{a}{\sqrt{3}},$$

   $$r=\frac{a}{2\tg 60^\circ}=\frac{a}{2\sqrt{3}}.$$

2. Для правильного четырёхугольника $$n=4,$$ поэтому

   $$\frac{180^\circ}{4}=45^\circ.$$

   Тогда

   $$R=\frac{a}{2\sin 45^\circ}=\frac{a}{\sqrt{2}},$$

   $$r=\frac{a}{2\tg 45^\circ}=\frac{a}{2}.$$

3. Для правильного шестиугольника $$n=6,$$ поэтому

   $$\frac{180^\circ}{6}=30^\circ.$$

   Тогда

   $$R=\frac{a}{2\sin 30^\circ}=a,$$

   $$r=\frac{a}{2\tg 30^\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ: для правильного треугольника $$R=\frac{a}{\sqrt{3}},\ r=\frac{a}{2\sqrt{3}}$$; для квадрата $$R=\frac{a}{\sqrt{2}},\ r=\frac{a}{2}$$; для правильного шестиугольника $$R=a,\ r=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$