Упр.12.11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Как изменяется сторона $$AB$$ треугольника $$ABC$$, если угол $$C$$ возрастает, а длины сторон $$AC$$ и $$BC$$ не меняются (рис. 272)?

По теореме косинусов для треугольника $$ABC$$ имеем

$$AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \angle C.$$

Так как длины $$AC$$ и $$BC$$ не меняются, то величины $$AC^2+BC^2$$ и $$2\cdot AC\cdot BC$$ постоянны. Обозначим

$$m=AC^2+BC^2,\qquad n=2\cdot AC\cdot BC,$$

где $$m>0$$, $$n>0$$. Тогда

$$AB^2=m-n\cos \angle C.$$

При возрастании угла $$\angle C$$ значение $$\cos \angle C$$ уменьшается. Значит, выражение $$m-n\cos \angle C$$ увеличивается, а следовательно, увеличивается и $$AB^2$$. Поскольку $$AB>0$$, то увеличивается и сама сторона $$AB$$.

Ответ: сторона $$AB$$ увеличивается.