Упр.9.11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

I) Найдем фигуру симметричную отрезку AB.
1) Отметим точку A’ симметричную точке A и точку B’ симметричную
точке B относительно некоторой точки O;
2) Рассмотрим четырехугольник ABA’ B’:
Отрезки AA’ и BB’ являются его диагоналями, пересекающимися в
точке O, а так как по построению AO=OA’ и BO=OB’, то ABA’ B’
является параллелограммом, отсюда AB=A’ B’;
3) Точка O является центром симметрии ABA’ B’ (задача 9.8), значит
отрезок A’ B’ симметричен отрезку AB;
Ответ: отрезок, равный данному.
II) Найдем фигуру симметричную углу O.
1) Отметим произвольные точки A и B на сторонах угла O;
2) Отметим точки A’, O’ и B’ симметричные точкам A, O и B относительно некоторой точки S;
3) Отрезки A’ O’, O’ B’ и A’ B’ соответственно симметричны и равны
отрезкам AO, OB и AB;
4) Так как точки A и B на сторонах угла AOB произвольные, то любые
точки на сторонах угла AOB симметричны каким-нибудь точкам на
сторонах угла A’ O’ B’, следовательно эти углы симметричны;
5) Треугольники A’ O’ B’ и AOB равны по третьему признаку, отсюда
угол A’ O’ B’ = углу AOB;
Ответ: угол, равный данному.
III) Найдем фигуру симметричную треугольнику ABC.
1) Отметим точки A’, B’ и C’ симметричные точкам A, B и C относи-
тельно некоторой точки O;
2) Отрезки A’ B’, B’ C’ и A’ C’ соответственно симметричны и равны
отрезкам AB, BC и AC, значит треугольники A’ B’ C’ и ABC симметричны;
3) Треугольники A’ B’ C’ и ABC равны по третьему признаку;
Ответ: треугольник, равный данному.

Подробный ответ

I) Фигура, симметричная отрезку $$AB$$ относительно точки.

Пусть точки $$A’$$ и $$B’$$ симметричны точкам $$A$$ и $$B$$ относительно точки $$O$$. Тогда точка $$O$$ является серединой отрезков $$AA’$$ и $$BB’$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$ABA’B’$$. Его диагонали $$AA’$$ и $$BB’$$ пересекаются и делятся точкой $$O$$ пополам, значит, $$ABA’B’$$ — параллелограмм. Следовательно,

$$AB=A’B’.$$

Значит, отрезок, симметричный отрезку $$AB$$, — это отрезок, равный данному.

II) Фигура, симметричная углу.

Возьмём на сторонах угла $$AOB$$ произвольные точки $$A$$ и $$B$$ и отметим точки $$A’$$, $$O’$$ и $$B’$$, симметричные точкам $$A$$, $$O$$ и $$B$$ относительно некоторой точки $$S$$.

Тогда отрезки $$A’O’$$, $$O’B’$$ и $$A’B’$$ соответственно равны и симметричны отрезкам $$AO$$, $$OB$$ и $$AB$$. Поэтому треугольники $$A’O’B’$$ и $$AOB$$ равны по трём сторонам.

Следовательно,

$$\angle A’O’B’=\angle AOB.$$

Значит, фигура, симметричная углу, — это угол, равный данному.

III) Фигура, симметричная треугольнику $$ABC$$.

Пусть точки $$A’$$, $$B’$$ и $$C’$$ симметричны точкам $$A$$, $$B$$ и $$C$$ относительно точки $$O$$. Тогда

$$A’B’=AB,\quad B’C’=BC,\quad A’C’=AC.$$

Следовательно, треугольники $$A’B’C’$$ и $$ABC$$ равны по трём сторонам.

Значит, фигура, симметричная треугольнику, — это треугольник, равный данному.