Упр.14.10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Квадрат и ромб имеют одинаковые периметры. Какая из фигур имеет большую площадь? Объясните ответ.

Пусть $$ABCD$$ — данный ромб, а $$A_1B_1C_1D_1$$ — данный квадрат.

Так как периметры ромба и квадрата равны, то равны и их стороны. Обозначим общую длину стороны через $$a$$:

$$AB=AD=A_1D_1=a.$$

Из вершины $$B$$ опустим высоту $$BH$$ ромба на сторону $$AD$$.

В прямоугольном треугольнике $$AHB$$ сторона $$BH$$ — катет, а $$AB$$ — гипотенуза, значит

$$BH<AB=a.$$

Найдём площади фигур:

$$S_{ABCD}=AD\cdot BH=a\cdot BH,$$
$$S_{A_1B_1C_1D_1}=a^2.$$

Тогда

$$\frac{S_{ABCD}}{S_{A_1B_1C_1D_1}}=\frac{a\cdot BH}{a^2}=\frac{BH}{a}.$$

Так как $$BH<a$$, то

$$\frac{BH}{a}<1,$$

следовательно, площадь ромба меньше площади квадрата.

Ответ: квадрат.