Упр.12.10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Найдите биссектрисы треугольника.
Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, где $$AB=5\text{ м}$$, $$BC=6\text{ м}$$, $$AC=7\text{ м}$$.
Проведём биссектрисы $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$. По свойству биссектрисы треугольника:
$$\frac{BA_1}{A_1C}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{7}, \qquad \frac{CB_1}{B_1A}=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{5}, \qquad \frac{AC_1}{C_1B}=\frac{AC}{BC}=\frac{7}{6}.$$
Отсюда находим части сторон:
$$BA_1=\frac{5}{5+7}\cdot BC=\frac{5}{12}\cdot 6=\frac{5}{2}\text{ м},$$
$$CB_1=\frac{6}{6+5}\cdot AC=\frac{6}{11}\cdot 7=\frac{42}{11}\text{ м},$$
$$AC_1=\frac{7}{7+6}\cdot AB=\frac{7}{13}\cdot 5=\frac{35}{13}\text{ м}.$$
Теперь найдём длины биссектрис по теореме косинусов.
В треугольнике $$AC_1C$$:
$$CC_1^2=AC^2+AC_1^2-2\cdot AC\cdot AC_1\cdot \cos\angle A.$$
Из задачи 1 известно, что $$\cos\angle A=\frac{19}{35}$$. Тогда
$$CC_1^2=7^2+\left(\frac{35}{13}\right)^2-2\cdot 7\cdot \frac{35}{13}\cdot \frac{19}{35} =\frac{6048}{169}.$$
Следовательно,
$$CC_1=\sqrt{\frac{6048}{169}}=\frac{12\sqrt{42}}{13}\text{ м}.$$
В треугольнике $$BA_1A$$:
$$AA_1^2=AB^2+BA_1^2-2\cdot AB\cdot BA_1\cdot \cos\angle B.$$
Так как $$\cos\angle B=\frac{1}{5}$$, получаем
$$AA_1^2=5^2+\left(\frac{5}{2}\right)^2-2\cdot 5\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{1}{5} =\frac{105}{4}.$$
Значит,
$$AA_1=\sqrt{\frac{105}{4}}=\frac{\sqrt{105}}{2}\text{ м}.$$
В треугольнике $$CB_1B$$:
$$BB_1^2=BC^2+CB_1^2-2\cdot BC\cdot CB_1\cdot \cos\angle C.$$
Так как $$\cos\angle C=\frac{5}{7}$$, то
$$BB_1^2=6^2+\left(\frac{42}{11}\right)^2-2\cdot 6\cdot \frac{42}{11}\cdot \frac{5}{7} =\frac{2160}{121}.$$
Следовательно,
$$BB_1=\sqrt{\frac{2160}{121}}=\frac{12\sqrt{15}}{11}\text{ м}.$$
Ответ: $$CC_1=\frac{12\sqrt{42}}{13}\text{ м},\; AA_1=\frac{\sqrt{105}}{2}\text{ м},\; BB_1=\frac{12\sqrt{15}}{11}\text{ м}.$$
