Вопрос 10 Параграф 4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что у любого треугольника по крайней мере два угла острые.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ два угла не острые, то есть каждый из них прямой или тупой. Тогда каждый из этих углов не меньше $$90^\circ$$.

По теореме о сумме углов треугольника

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.$$

Но сумма двух углов, каждый из которых не меньше $$90^\circ$$, не меньше $$180^\circ$$. Тогда третий угол должен быть равен $$0^\circ$$ или быть отрицательным, что невозможно для угла треугольника.

Следовательно, в треугольнике не могут быть два прямых или тупых угла. Значит, у любого треугольника по крайней мере два угла острые.